電力技術理論徒然草 No.5 (長谷良秀) 
     
 
電界・電束・キャパシタンス

  前回は抵抗RとInductanceLについて復習しました。今回は電界と電束、そしてCapacitance C について復習をしましょう。

1)Capacitance とは
もしも接近して相対する位置にある二つの板電極a,bに電源電圧v(t)をつなぐと電極aにプラス電荷 +qが、電極bにマイナス電荷−qが生じ、両電極の電位差がv(t)と等しくなるまで増大します(図 (a)(b)(c)参照)。これは有効面積A(ガウス面といいます)の両電極の間に電界E(t)が生じて電気力線の束 ΦEが存在していると理解されます。 そして電荷量q(t)は AとE(t)に比例すると考えるのが自然 でしょう。事実はその通りです。

そしてこの電界強度を両電極の距離だけ積分した値が両電極間の電位差となります。

式 (5.1a) (5.1c)で電界E を消去すると,

両電極の電荷±q ,両電極の電位差vとすると、qとvは比例するということです。そこでその比例係数 としてCapacitance C を次のように定義したのです。

ここでA は電極の面積,dは電極間の距離であるから電界の構造で決まる固有値です。 また、 s ε=εs・ε0は両電極間の電界空間を満たす物質の誘電率で、空気の場合には真空空間の誘電率ε0に ほぼ等しい(比誘電率εs≅1.0 )のでε≅ε0です。 なお0  は私たちが普段使っているMKS有理単位系 (m,kg,sec単位系)では次式で与えられる数値です。(単位系についてもコラムでいつか書きたいと思います)

さて、現代の我々は上述の関係が瞬時値として成立することを知っていますからそのことを強調す るためにq,v(t)を付してq(t)v(t)と表現しましょう。
また我々は電流の定義式として次式を知っていますね。

式(5.3b)は前回書きました。したがって(5.3a,b)両式より回路的によりなじみ深い次式を得ます。

「両電極間に流れる電流i(t)は電圧の変化率dv(t)/dt に比例し、その比例係数がCapacitanceCである」と表現することもできますね。


2)Maxwellの変位電流(Displacement current)
式(5.1a)と(5.3b) より

となります。これはMaxwell が1856年に発表した電磁波理論の中で定義した変位電流idです。 導体に流れる電流i(移動する電荷q)に伴走するように(電荷の進行方向に直角な面に)磁界ΦMと電界 E が生ずる。電荷を起点にして電界が生じて、電界に沿って両電極間の空間がたとえ真空空間であっても電束 ΦEで満たされる。またその時間変化率として定義される式(5.4)の電流idが両電極間に流れる。 これをMaxwell は変位電流と定義したのです。 たとえ真空空間であっても変位電流は流れるのであっ てエーテル(Ether)などという媒体は不要である。
私たちが今「送電線の漏れ電流」などとして理解する概念はMaxwellのdisplacement currentにほかなり ませんね。 身近なBluetooth や人口衛星からのGPS信号として利用されているGHz領域の電波なども 同様です。 今我々が使う電界あるいは電束という言葉はMaxwellが体系化し命名した変位電流の後世 における別名ともいえるでしょう。


3)Capacitance回路(Capacitor)に交流電源をつないだら?
Capacitance回路(Capacitor)に交流電源をつないでみましょう。

ω=2πfですから、Capacitance の定常電流は電源電圧が周波数fの交流ならそれより90度進みの電流 が流れる。直流電圧(f=0Hzの交流)であれば電流はi(t)=0となって流れないことになります。

次にここでCapacitance Cの消費する瞬時パワーp̂(t)を計算してみましょう。

V,I は波高値((crest value)表現、Vrms Irms は実効値表現です。
Capacitance が消費する瞬時パワーp̂(t)(単位Watt)は毎半サイクル,180度ごとに符号が入れ替わりま す。その1サイクル平均パワーは

となります。 Capacitance は半サイクルの間はパワーを受け取り(エネルギーとして蓄積して(負荷モ ード)、次の半サイクルではパワーを放出してエネルギーをすべて吐き出す(発電モード)性質があると いえます。 蓄積と放出で相殺になるので普通には「Capacitor は(銅損・鉄損以外には)パワーを消費 しない」というわけです。半サイクルでの最大蓄積エネルギー(電力容量)は瞬時パワーp̂(t)を0度か ら180度まで積分して
さて、CapacitorはReactorと同様に立派な有効電力(単位Watt)の機械であり、その本質を説明するの に虚数 とか複素数は不要ですね。 p̂(t)は「無効な電力」ではなく単位wattの実パワーです。

4)Capacitanceの回路的概念は電気史的に難産だった。
NO.4コラムで説明したように、M.Faraday とJ.Henryによってv(t)=Ldi(t)/dtの概念が提示されたの は1831年。その後のGaussらの活躍で電流と磁束の関係(inductance L の関係式等)が明らかになっ ていきます。 ところがCapacitance の式 i(t)=C・dv(t)/dtに到達するのはさらに25年も後の1856 年にMaxwellによる電界、電束の理論の登場まで待つ必要がありました。
皆さんその理由はなぜでしょうか? コイルの抵抗R , inductance L には電流通路としての導体が あるのでRLは電気回路の特性として理解が容易だったのでしょう。 ところがCapacitanceの基 本概念となる対電極の間にはspace空間(空気)があるのみで導体がない。 Gauss等の活躍した19 世紀前半の時代は2点間のpowerの伝達には必ずその媒体エーテルが存在するとして多くの科学者が エーテル探しに苦労していた時代です。 真空に近い空気を介して対峙する二つの電極の空間を電 流の流れるパスとして考える発想は簡単に生まれるはずもなかったのです。 もう一つ別の理由も あったでしょう。Gaussの時代の科学者は静的な電荷と電界に関する関係式として式(5.1a)~(5.2c)を 導きました。 私がこれらの式に(t) を付さなかったのもそのような理由によります。 「静的」 とは「変化しない」ということであり、変化しない電位・電圧とは我々の言葉では「一定値の直流 電圧」です。 そしてCapacitorに直流電圧を加えても電流は流れない。 ACという概念がまだ生まれ ていないのでその対語であるDCという概念も明確に意識されることはなかったでしょうし、当時の人々が 「2つの対峙する電極間に電流など流れるはずもない」と考えるのも尤もなことですね。 CapacitanceとかCapacitorの 概念は電気史的には交流電気理論のなかで定着していったといえるでしょう。 そしてMaxwellが1873年に発表する画期的な 電磁波理論もこの「空間を流れる電流」に対する深い考察を基礎として導かれたのです。
(No.5:2020-06-27 長谷良秀)
 
     
 
 
 
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